フーリエ解析

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もくじ
はじめに ································································ 3
第1 章 フーリエ級数展開 ················································· 9
1. 1. フーリエ級数とは 11
1. 2. フーリエ係数の求め方 12
1. 2. 1. sin 関数とcos 関数の積 14
1. 2. 2. sin 関数あるいはcos 関数どうしの積 16
1. 2. 3. フーリエ係数の導出 19
1. 3. フーリエ級数展開の一般式 21
1. 4. 任意周期のフーリエ級数展開 35
1. 5. フーリエサインおよびコサイン級数 39
1. 6. 2 重フーリエ級数展開 43
1. 7. フーリエ級数の収束性 44
補遺1-1 三角関数の公式 46
A1. 1. 加法定理 47
A1. 2. 倍角の公式 48
A1. 3. 積を和差に変える公式 49
A1. 3. 1. sin A cos B とcos A sin B 49
A1. 3. 2. cos A cos B とsin A sin B 49

第2 章 直交関数系 ······················································ 51
2. 1. ベクトルの内積 51
2. 2. ベクトルの展開 55
2. 3. 関数の内積 57
2. 4. 関数のノルム 60
2. 5. 正規直交系 62
2. 6. フーリエ級数成分の正規化 64
2. 7. 関数とベクトル 68
2. 7. 1. 関数に対応するベクトル 69
2. 7. 2. 関数のノルム 70
2. 7. 3. 分割数による補正 71
2. 7. 4. 関数ベクトルのノルム 73
2. 8. 複素数 74
2. 8. 1. 複素ベクトルの内積 75
2. 8. 2. 複素関数の内積 77

第3 章 複素フーリエ級数 ············································· 79
3. 1. 複素フーリエ級数展開 80
3. 2. 複素フーリエ係数 82
3. 3. 任意周期の複素フーリエ級数 89
3. 4. 2 重フーリエ級数 91
3. 5. パーセヴァルの等式 92
3. 5. 1. パーセヴァルの等式の導出 92
3. 5. 2. パーセヴァルの等式の応用 93
3. 5. 3. ベクトルの内積との関係 96
3. 5. 4. 実関数におけるパーセヴァルの等式 96
補遺3-1 オイラーの公式 100
A3. 1. オイラーの公式 100
A3. 2. オイラーの公式の導出 100
A3. 2. 1. べき級数展開 100
A3. 2. 2. 指数関数の展開 102
A3. 2. 3. 三角関数 102
A3. 2. 4. 虚数とオイラーの公式 103
A3. 3. 複素平面と極形式 103

第4 章 微分方程式の解法 ············································ 106
4. 1. 偏微分方程式 106
4. 2. 熱伝導方程式 107
4. 3. 熱伝導方程式の解法 109
4. 4. フーリエ級数と熱伝導方程式の解 113
4. 4. 1. フーリエサイン級数 114
4. 4. 2. フーリエ係数 115
4. 4. 3. 初期条件の温度分布 116
4. 4. 4. 非対称の温度分布 123
4. 5. フーリエ係数がt の変数 126
4. 6. 波動方程式 128
4. 7. 変数分離による解法 130
4. 8. フーリエ級数による解法 133
4. 9. ラプラス方程式 135
4. 10. フーリエ級数によるラプラス方程式の解法 137
補遺4-1 双曲線関数 152

第5 章 フーリエ積分とフーリエ変換 ································· 154
5. 1. フーリエ級数から積分への拡張 154
5. 2. フーリエ積分における周期の考え方 159
5. 3. フーリエ積分におけるフーリエ係数 160
5. 4. フーリエ変換 162
5. 4. 1. フーリエ級数 162
5. 4. 2. フーリエ積分 165
5. 4. 3. フーリエ逆変換 167
5. 5. 主役はフーリエ変 ...