離散凸解析―理論の拡大と応用

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はじめに

第I部 集合関数の離散凸解析

第1章 M凹集合関数
1.1 凸関数と凸集合
1.2 M凹関数の定義
1.3 例
1.4 M♮凹関数の最大化
1.5 選択関数
1.6 局所交換不等式
1.7 多重交換不等式
1.8 諸演算
1.9 マトロイド
第2章 劣モジュラ性とM凹性
2.1 M♮凹関数の劣モジュラ性
2.2 共役関数の劣モジュラ性
第3章 M凹関数の和の最大化
3.1 問題の定義と最適性の条件
3.2 Fenchel型双対定理
3.3 マトロイド階数関数の最大最小定理
3.4 多重交換不等式の証明
第4章 マッチングとM凹関数
4.1 マッチングによるM凹関数の変換
4.2 付値マトロイド付き割当問題
4.3 ポテンシャルによる最適性条件
4.4 負閉路による最適性条件
4.5 閉路消去アルゴリズム

第II部 整数格子点上の離散凸関数

第5章 整数格子点上のM凸関数
5.1 整数格子点上の関数
5.2 M♮凸関数
5.3 M凸関数
5.4 例
5.5 準M凸関数
第6章 各種の離散凸関数
6.1 概観
6.2 整凸関数
6.3 L凸関数
6.4 マルチモジュラ関数
6.5 離散凸概念の相互関係
第7章 凸包と凸拡張
7.1 離散凸集合の多面体的側面
7.2 離散凸関数の凸拡張
第8章 離散凸関数の演算
8.1 変数の変換
8.2 制限と射影
8.3 直和と和
8.4 変数分割と変数集約
8.5 離散凸集合のMinkowski和
8.6 離散凸関数の合成積
8.7 ネットワークによる変換
8.8 Minkowski和の整数性とユニモジュラ行列
8.9 Shapley・Folkmanの定理
第9章 離散凸関数の最小化
9.1 最適性の条件
9.2 スケーリングと近接定理
9.3 最小化集合
第10章 共役性と双共役性
10.1 連続世界の共役性の枠組み
10.2 離散変数関数の共役関数
10.3 各種の離散凸性の共役関係
10.4 双共役性
第11章 Fenchel型双対性
11.1 M凸関数の最大最小定理
11.2 最大最小定理の枠組み
11.3 L凸関数の最大最小定理
11.4 整凸関数の最大最小定理
第12章 離散DC関数
12.1 離散DC関数の定義と例
12.2 Toland・Singer型双対性
12.3 最適性条件
12.4 最小化アルゴリズム
第13章 辞書式最適化と公平配分
13.1 概念の定義
13.2 凸関数最小化による降順最小元の特徴づけ
13.3 降順列最小化に関する双対性
13.4 正準分割
13.5 離散と連続の関係
13.6 アルゴリズム
13.7 その他の離散凸集合上の降順列最小化
13.8 Lorenz順序(優越順序)

第III部 経済学との接点

第14章 代替性と離散凸性
14.1 経済学におけるM♮凹関数の役割
14.2 代替性とM♮凹関数
第15章 不可分財の競争均衡
15.1 不可分財市場のモデル
15.2 均衡の存在
15.3 均衡の計算
15.4 均衡の存在を保証する離散凸性
第16章 取引ネットワーク
16.1 取引ネットワークモデル
16.2 全代替性と歪M♮凹関数
16.3 均衡の存在
第17章 オークション
17.1 概論
17.2 オークションのモデル
17.3 Lyapunov関数による解析
17.4 繰り返しオークション(Lyapunov関数法)
17.5 入札ベクトル方式の封印入札
第18章 マッチング市場
18.1 離散凹関数によるモデル
18.2 安定性の定義と安定解の存在
18.3 主定理の証明
18.4 M♮凹マッチングモデルの歴史

おわりに
参考文献
記号表
索引