現代幾何学への道 ユークリッドの蒔いた種

構成数 : 1枚

序
プロローグ ――位置の幾何学
P.1 本書の問題意識
P.2 位置の幾何学

第 I 部 ユークリッド幾何学から位相幾何学へ
第1章 幾何学の系譜
1.1 証明
1.2 ギリシャ数学の系譜
1.3 古代ローマからルネサンスまで
1.4 ルネサンスから近世へ
1.5 座標系
1.6 課題
第2章 ケーニヒスベルクの橋の問題
2.1 問題の単純化
2.2 グラフ
2.3 オイラーの定理
2.4 背理法と帰納法
2.5 オイラー・グラフ
2.6 グラフ理論の誕生
2.7 課題
第3章 地図の塗り分けと2色問題
3.1 平面グラフと地図
3.2 2色問題の解答
3.3 頂点の彩色
3.4 もう1つのオイラーの定理
3.5 4色問題
3.6 課題
第4章 巻数と整数割り当て定理
4.1 整数割り当て定理
4.2 巻数
4.3 巻数の計算の仕方
4.4 課題
第5章 位相幾何学への流れ
5.1 トポロジー
5.2 同相
5.3 曲面の位相幾何学
5.4 ポアンカレの登場
5.5 結び目と絡み目
5.6 課題
インタールード
数学の発見
数学の推理
数学の類似
数学の表現
数学の誤謬
課題

第 II 部 解析学から位相幾何学へ
第6章 解析幾何学と巻数
6.1 一般角
6.2 三角関数
6.3 写像としての曲線
6.4 巻数の厳密な定義
6.5 課題
第7章 巻数の応用
7.1 代数学の基本定理
7.2 ポアンカレの指数定理
7.3 課題
第8章 無限小解析――微分
8.1 無限小解析の誕生
8.2 曲線の速度ベクトル
8.3 微分
8.4 平均値の定理
8.5 課題
第9章 無限小解析――積分
9.1 積分の定義
9.2 微分積分学の基本定理
9.3 対数関数と指数関数
9.4 課題
第10章 閉曲線の無限小解析
10.1 定理4.3の解析的証明
10.2 巻数の解析的表示
10.3 線積分
10.4 閉曲線で囲まれる面積
10.5 曲線の長さ
10.6 課題
第11章 位置の幾何学と複素解析
11.1 複素解析の勃興
11.2 複素解析から位置の幾何学へ
11.3 課題
第12章 閉曲線の回転数
12.1 回転数
12.2 弧長媒介変数表示
12.3 曲線の曲率
12.4 ホイットニーの定理の証明
12.5 課題
エピローグ――非ユークリッド幾何学
E.1 第5公準
E.2 非ユークリッド幾何学の発見
E.3 リーマン多様体

課題への解答とヒント
あとがき
参考文献