まえがき


第I部


1 曲線論曲面論に必要な基本事項
1. 1 ベクトルと行列
1. 2 行列式とトレース
1. 3 等長変換と運動
1. 4 行列の指数関数
まとめ
問 題

2 平面曲線
2. 1 平面曲線とは
2. 2 平面曲線のフレネセレ枠と曲率
2. 3 曲率円と曲がり方
2. 4 平面曲線の基本定理
まとめ
問 題

3 平面曲線の性質
3. 1 閉曲線の回転数
3. 2 4頂点定理
3. 3 全曲率とフェンチェルの定理
まとめ
問 題

4 空間曲線
4. 1 空間曲線のフレネセレ枠とフレネセレの公式
4. 2 空間曲線の基本定理
4. 3 曲率と捩率の公式
4. 4 空間曲線のフェンチェルの定理
まとめ
問 題

5 曲面の位相
5. 1 集合と位相の復習
5. 2 曲面とは
5. 3 単体分割とオイラー数
5. 4 曲面の三角形分割
5. 5 曲面の連結和と位相的分類
5. 6 オイラー数と種数(1)
まとめ
問 題

6 曲面の局所理論
6. 1 曲面の計量と第1基本形式
6. 2 第2基本形式
6. 3 曲面の曲がり方の導入
6. 4 オイラーの考えたガウス曲率
6. 5 測地的曲率と法曲率
6. 6 主曲率,ガウス曲率と平均曲率の計算
まとめ
問 題

7 曲面の曲がり方
7. 1 曲面の形状とガウス曲率の符号
7. 2 座標変換
7. 3 面積要素と面積
7. 4 ガウス写像とワインガルテン写像
7. 5 計量ベクトル空間の対称変換
7. 6 定曲率曲面
まとめ
問 題

8 古典的手法†
8. 1 クリストッフェル記号
8. 2 曲面論の基本定理(1)
8. 3 添え字の法則
まとめ
問 題

9 微分形式を用いて
9. 1 微分形式,外微分
9. 2 ポアンカレの補題
9. 3 正規直交動枠の導入
9. 4 接続と第1構造式
まとめ
問 題

10 曲面論の基本定理
10. 1 曲面の第2構造式
10. 2 ガウスの驚愕定理
10. 3 マイナルディコダッチ方程式
10. 4 曲面論の基本定理(2)
まとめ
問 題

11 ガウスボンネの定理
11. 1 線積分と面積分
11. 2 ストークスの定理
11. 3 ガウスボンネの定理(1)
11. 4 ガウスボンネの定理(2)
まとめ
問 題

12 曲面上の曲線
12. 1 最短線と測地線
12. 2 最短線は測地線
12. 3 測地線は一つとは限らない
まとめ
問 題

13 計量の幾何と双曲平面
13. 1 共変微分と測地線
13. 2 内在的性質,外来的性質
13. 3 双曲平面
13. 4 双曲平面の測地線
まとめ
問 題

14 様々な幾何
14. 1 非ユークリッド幾何学
14. 2 三角形の内角の和
14. 3 リーマン幾何学
14. 4 ミンコフスキー空間
まとめ
問 題

15 発展†
15. 1 向き付け不可能な曲面
15. 2 向き付け不可能な閉曲面の分類
15. 3 オイラー数と種数(2)
15. 4 多様体とポアンカレ予想
まとめ
問 題


第II部


16 フビニスタディ計量
16. 1 球面の立体射影
16. 2 球面上の距離:フビニスタディ計量
16. 3 三角関数と双曲線関数

17 ポアンカレ計量
17. 1 ポアンカレ円板とケーリー変換
17. 2 回転双曲面と立体射影
17. 3 回転双曲面上の距離とポアンカレ計量
第16章と17章のまとめ

18 基本群と被覆空間
18. 1 単連結性と基本群
18. 2 被覆空間
18. 3 普遍被覆空間
18. 4 曲面の普遍被覆空間
18. 5 等長変換,共形変換,ケーベの一意化定理
18. 6 対称性と群作用
まとめ

19 変分問題の導入
19. 1 測地線と変分問題
19. 2 極小曲面と変分問題
19. 3 調和写像と変分問題
まとめ


付 録
A. 1 曲線の長さ
A. 2 固有値,実対称行列,2次形式
A. 3 平坦領域の勾配ベクトル場と発散定理
A. 4 曲面上の発散定理
A. 5 ガウスコダッチ方程式の別証明
A. 6 可積分系理論への入り口


問題の略解
関連図書

索 引